Motivação

Me lembro como se fosse hoje de uma das primeiras crises que tive quando comecei a estudar estatística pra valer: foi em uma aula de Inferência sobre parâmetros, estimadores e estimativas, que corria muito bem até o momento em que a professora disse “então, a média amostral é o melhor estimador da média populacional.”

Bom, eu não consigo imaginar como uma afirmação dessas reverbera em um aluno com a formação em alguma área de exatas… Mas, pra mim, que tive uma formação em biológicas/saúde, essa frase gerou uma sequência de pensamentos [e emoções]:

É óbvio que a média amostral é a melhor forma de estimar a média populacional… [aff 🙄]

Mas calma… se para calcular a média populacional, somamos todos os elementos e dividimos pelo N populacional, o jeito de calcular a média amostral não é somando todos os elementos da amostra e dividindo pelo n amostral? [a vida não é direta assim? 👀]

Tem algum outro jeito de estimar a média populacional que não seja usando a média amostral? [não, né?! 😬]

Para estimar parâmetros como a média, variância ou desvio-padrão de uma população, não bastaria simplesmente aplicar as mesmas fórmulas usadas para a população, mas utilizando os dados da amostra? [😱😱😱]

Todos os questionamentos que passaram pela minha mente foram angustiantes… Por um bom tempo eu nem conseguia organizar essas dúvidas de forma que pudesse formular as perguntas certas… Infelizmente, muitos professores de exatas têm pouca sensibilidade para explicar conceitos que, para eles, são óbvios. E, quando migramos de área, entender esses conceitos iniciais é essencial para construir uma base sólida para todos os outros mil conceitos que virão pela frente.

Depois de buscar diferentes professores, videoaulas e livros para entender essa afirmação (supostamente tão simples) feita pela minha professora de Inferência, percebi algo valioso: um dos melhores caminhos para consolidar um bom raciocínio em estatística é simular dados de uma população (ou seja, desenhar uma população com parâmetros conhecidos) e observar como as amostras extraídas dessa população se comportam. Quando conseguimos visualizar, de forma concreta, aquilo que antes era apenas um conceito abstrato, tudo começa a fazer mais sentido. E é exatamente essa a proposta deste post: explicar de maneira visual e prática, alguns conceitos que tanto me angustiaram lá atrás. Vamos ver, a partir de uma população fictícia, como os conceitos de parâmetros, estimadores e estimativas se conectam.

Introdução

Um passo para trás: objetivo da inferência… Por que precisamos de amostras para inferir sobre parâmetros populacionas? Por que queremos saber os parâmetros populacionais?

Exemplo fictício: estimar o salário informal dos habitantes de um país. Pra que isso serve? Como poderíamos fazer: indo atrás de toda a população ou estimando a partir de uma amostra…

Não vou entrar em detalhes sobre como amostrar essa popualaçao, entao vamos dar um salto de fé aqui e imaginar que conseguimos chegar em uma amostra altamente confiável dessa população de interesse. Para cada pessoa dessa amostra, computamos a renda média feita mensalmente através de trabalhos informais… e, com isso, chegamos em conclusão sobre a amostra… mas e aí, como conseguimos chegar em conclusões sobre a população?

Vamos simular?

# definindo o tamanho da população
pop_size <- 1000000

set.seed(123)
population <- tibble(
  # id do indivíduo
  id = 1:pop_size,
  # gerando os valores de salário informal, para uma população com média de 2375 e desvio-padrão de 1000
  informal_sallary = rnorm(n = pop_size, mean = 2375, sd = 1000)
)

Exemplo da população gerada
id	informal_sallary
1	1814.524
2	2144.823
3	3933.708
4	2445.508
5	2504.288

Temos certeza da média populacional porque determinados ela: mean = 2375, sd = 1000. Imagina que retiramos uma amostr dessa população de 100 pessoas

# A tibble: 100 × 2
       id informal_sallary
    <int>            <dbl>
 1 969167            1588.
 2 188942            4289.
 3 134058            2798.
 4 124022            2746.
 5 685285            1212.
 6 226318            2429.
 7 365209            2518.
 8 648795            1475.
 9 985797            3073.
10 193627            1308.
# ℹ 90 more rows

[1] 2399.828

Média populacional real: 50.00977 
Média das médias amostrais (não viesado): 49.99139 
Média das médias enviesadas: 50.70219